Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（1）求函数f（x）的表达式； 
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间[-2，5]的最值．

Answer

（1）三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和-1，求出a与b，再代入f（-2）=-4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出极值；
（3）由（2）已知f（x）的极大值和极小值，把端点值f（-2）和f（5），从而求出最值；
【解析】
（1）∵三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
∴可得解得；
∴f（x）=x3-3x+c，∵f（-2）=-4，可得（-2）3-3×（-2）+c=0，解得c=2，
∴f（x）=x3-3x+2；
（2）∵f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
若f′（x）＞0即x＞1或x＜-1，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0即-1＜x＜1，f（x）为减函数，
f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
f（x）极大值=f（-1）=-1+3+2=4，f（x）极小值=f（1）=1-3+2=0；
（3）∵求函数在区间[-2，5]的最值，
已知f（x）极大值=4，f（x）极小值=0，
f（-2）=（-2）3-3×（-2）+2=-8+6+2=0；
f（5）=53-3×5+2=112，
∴f（x）的最大值为112，f（x）的最小值为0；