Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值．

Answer

（1）由题意可得，解得即可．
（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，
都对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|≤c，求出即可．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx-3．
∵函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，-2）．
∴，即，解得．
∴f（x）=x3-3x．
（2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，且f（-1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=-2．
又f（-2）═-2，f（2）=2．
∴f（x）=x3-3x在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为2，-2．
∴对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=|2-（-2）|=4≤c．
即c得最小值为4．