Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2），a₁=1．
（1）证明：数列是等差数列．并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：．

Answer

（1）利用平方差公式对题设中的等式化简整理求得，进而根据等差数列的定义判断出数列是一个首项为1公差为1的等差数列．进而根据首项和公差求得数列的通项公式，进而根据an=Sn-Sn-1求得an．
（2）把（1）中的an代入bn，进而根据裂项法求得前n项的和，求得Tn=，进而利用推断出，原式得证．
【解析】
（1）∵，（n≥2）
又bn≥o，，∴，
又，所以数列是一个首项为1公差为1的等差数列．
，sn=n2．
当n≥2，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；a1=1适合上式，∴an=2n-1（n∈N）．
（2）=，
Tn=b1+b2++bn
；
=
=
∵n∈N，∴，，，即．