Question

已知函数为偶函数．
（I）求k的值；
（II）若方程有且只有一个根，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根据方程有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（I） 由题意得f（-x）=f（x），
即，
化简得，…（2分）
从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴…（6分）
（II）由题意，原方程化为且a•2x-a＞0
即：令2x=t＞0…（8分）
函数y=（1-a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：
若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1-a）t2+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）
当二次函数y=（1-a）t2+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即也满足不等式（2）
综上：a＞1或…（12分）