Question

已知函数，且在上的最大值为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．

Answer

（I）由题意，可借助导数研究函数，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；
（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．
【解析】
（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=-，不合题意；
当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，
又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（0）=-，不合题意；
当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，
又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（）==，解得a=1，
综上所述，得
（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：
由（I）知，，从而有f（0）=-＜0，f（）=＞0，
又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，
又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．
当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．
由g′（x）=cosx-xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．
当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增
故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；
当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．
综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．