Question

已知向量=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx），=（，2cosωx），函数f（x）=（x∈R）的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在上的取值范围．

Answer

（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角公式和两角和的正弦函数，化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过函数的对称轴方程求出ω，然后得到函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）通过函数图象的变换，求出y=h（x），利用x∈，通过正弦函数的值域，求解函数的取值范围．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）因为函数f（x）==（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•（，2cosωx）
=（cos2ωx-sin2ωx）+2sinωxcosωx
=cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+），
函数f（x）的图象关于直线对称，
所以2sin（2ωx+）=±2，ωπ+=kπ+，k∈Z，ω=k+，k∈Z，
其中ω为常数，且ω∈（0，1）．所以ω=．
函数f（x）=2sin（x+）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，
再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，
得到y=2sin（2x-）的图象，所以h（x）=2sin（2x-），
x∈，∴2x-∈[]，∴2sin（2x-）∈[-2，1]
h（x）在上的取值范围[-2，1]．