Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}滿足，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（I）整理题设递推式得an+1+1=2（an+1），推断出{an+1}是等差数列，进而求得an+1，则an可求．
（II）根据题设等式可推断出2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn和2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．两式相减后整理求得bn+2-bn+1=bn+1-bn进而推断出{bn}是等差数列．
（III）利用（1）中数列{an}的通项公式，利用不等式的传递性，推断出进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．
【解析】
（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），
∴an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2n．
即an=2n-1∈N*）．
（II）证明：∵
∴．
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
即（n-1）bn+1-nbn+2=0，nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．
③-④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差数列．
（III）证明：∵，k=1，2，，n，
∴．
∵，k=1，2，，n，
∴，
∴．