Question

给出下列六个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f′（x）=0，则函数y=f（x）在x=x处取得极值；
③若m≥-1，则函数y=的值域为R；
④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
⑤函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称；
⑥满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．
其中正确命题的个数是    ．

Answer

根据函数零点的判定定理可得①正确． 通过举反例可得②不正确．
根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确．
根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数在定义域上是奇函数时，a=±1，可得④正确．
由函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称，可得⑤正确．
由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大边对大角可得△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．
【解析】
对于函数f（x）=lnx-2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根据函数零点的判定定理
可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．
②不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x3 在x=0处没有极值．
③当 m≥-1，函数y=的真数为 x2-2x-m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，
故函数y=的值域为R，故③正确．
④由a=1可得，定义域为R，关于原点对称，==-f（x），故函数在
定义域上是奇函数，故充分性成立．
若函数在定义域上是奇函数，则有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=-1，故不能推出a=1．
故必要性不成立，故④正确．
⑤在函数y=f（1+x）的图象上任意取一点（a，f（1+a）），则点（a，f（1+a））关于y轴的对称点为
（-a，f（1-a）），故函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称，故⑤正确．
⑥△ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大边对大角可得C=30°，∴B=90°，
△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．
故答案为 ①③④⑤．