Question

给出下列五个命题：
①若4^a=3，log₄5=b，则；
②函数的单调递减区间是[1，+∞）；
③m≥-1，则函数y=lg（x²-2x-m）的值域为R；
④若映射f：A→B为单调函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤函数y=e^x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则f（e³）=3．
其中正确的命题是    （把你认为正确的命题序号都填在横线上）

Answer

由已知可得log43=a，log45=b，结合对数的运算性质，可判断①的真假；
根据指数函数的单调性，二次函数的单调性及复合函数“同增异减”的原则，可判断②的真假；
由于对数函数值域是R，则只需让真数取遍（0，+∞）内的所有实数即可，即需让（0，+∞）为函数t=x2-2x-m值域的子集，求出m的范围可判断③的真假．
根据单调函数的图象和性质及函数一一映射的定义，可判断④的真假
根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于直线y=x对称，求出函数y=f（x）的解析式，代入求值，可判断⑤的真假．
【解析】
由4a=3可得log43=a，结合log45=b，可得=log49-log45=2log43-log45=2a-b，故①错误；
函数y=0.5u为减函数，函数u=1+2x-x2在区间[1，+∞）上也为减函数，根据复合函数“同增异减”的原则，可得函数在区间[1，+∞）上为增函数，故②错误；
由于对数函数y=lg（x2-2x-m）的值域是R，则需让真数t=x2-2x-m的值取遍（0，+∞）内的所有实数，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故③正确．
对于④，根据单调函数的定义知函数必为一一映射，反之，由一一映射确定的函数关系不一定是单函数，所以④正确．
函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则y=f（x）=lnx，∴f（e3）=lne3=3，故⑤正确
故答案为：③④⑤