Question

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）＞0恒成立；
（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

Answer

（1）令y=0，x=-1，由f（x+y）=f（x）f（y）得：f（-1）=f（-1）f（0），进而得到f（0）=1
（2）由已知中：当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得x＞0时，-x＜0，令y=-x，可由（1）的结论，证得f（x）＞0恒成立；
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得f（x1）＜f（x2），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
【解析】
（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得…（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，∴0＜f（x1-x2）＜1…（10分）
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）