Question

下列命题中，真命题的个数为（ ）
①x²+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要条件是1+b+c＜0
②当a≥2时，的最小值为1
③x²-mx+1≥0对于x＞0恒成立，则m≤2
④x≥1的一个充分不必要条件是x=4．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①设f（x）=x2+bx+c=0，方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1充要条件是f（1）＜0，由此得到①正确；
②y=+=-1≥2-1=1，当且仅当=0时，取最小值，由此得到②不正确；
③不等式x2-mx+1≥0对于任意的x∈R均成立，则m≤2；
④x≥1的一个必要不充分条件是x=4．
【解析】
①设f（x）=x2+bx+c=0，方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1充要条件是
f（1）＜0，即b+c＜-1，
∴x2+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要条件是1+b+c＜0，故①正确；
②y=+=-1≥2-1=1，
当且仅当=0时，取最小值，
∴当a≥2时，的最小值为1不正确，故②不正确；
③不等式x2-mx+1≥0对于任意的x∈R均成立，
∴由△=m2-4≤0得：-2≤m≤2．
当m＜-2时，x2-mx+1≥0对于x＞0恒成立，
∴x2-mx+1≥0对于x＞0恒成立，则m≤2．故③正确；
④∵由x≥1，不能得到x=4，x=4⇒x＞1，
∴x≥1的一个必要不充分条件是x=4，故④不正确．
故选B．