Question

一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥C-PAB的体积．

Answer

（I）连接BD，BD∩AC=O，连接OE，根据三角形中位线定理，可得BP∥OE，根据线面平行的判定定理，我们即可得到PB∥平面ACE；
（Ⅱ）由已知俯视图为正方形，主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，我们易得到AC⊥BD，PA⊥BD，根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质，即可得到PC⊥BD；
（Ⅲ）由已知中主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，我们易得底面为边长为1的正方形，高为1，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
证明：（I）连接BD，BD∩AC=O，连接OE，
易知OE是△BPD的中位线，
∴BP∥OE，
OE⊂平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）∵俯视图为正方形，
即ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
PA∩AC=A，BD⊥平面PAC．
PC⊂平面PAC．
∴PC⊥BD
【解析】
（III）由已知正方形ABCD的边长为1，
PA=1，
VC-PAB=VP-ABC=．