Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer

（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，知EF∥BC，由此能够证明EF∥面ABC．
（2）由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直径，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能够证明EF⊥面PAC．
（3）因为PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，所以∠PCA即为PC与面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能够求出三棱锥B-PAC的体积．
（1）证明：在三角形PBC中，
∵E是PC中点，F为PB中点，
∴EF∥BC，BC⊂面ABC，EF⊄面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC
∵EF∥BC，BC⊥面PAC，
∴EF⊥面PAC．
（3）【解析】
∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，
∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，
∴∠PCA=45°，PA=AC，
在Rt△ABC中，E是PC中点，
，
∴三棱锥B-PAC的体积．