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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),f(-2)=f...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),f(-2)=f(0)=0,f(x)的最小值为-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的取值范围.
(1)由题意,函数的对称轴为直线x=-1,设出顶点式,利用f(0)=0,即可求得函数f(x)的解析式; (2)确定函数g(x)的解析式,再分类讨论,利用g(x)在[-1,1]上是减函数,即可求实数m的取值范围. 【解析】 (1)由题意,函数的对称轴为直线x=-1,设f(x)=a(x+1)2-1, ∵f(0)=0,∴a-1=0,∴a=1, ∴f(x)=(x+1)2-1; (2)g(x)=f(-x)-mf(x)+1=(-x+1)2-1-m(x+1)2+m+1=(1-m)x2-2(1+m)x+1 ①m=1时,g(x)=-4x+1在[-1,1]上是减函数,满足题意; ②或,解得0≤m<1或m>1 综上知,m≥0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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