Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）设，求证：数列{c_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）将an+1=2an-1转化an+1-1=2（an-1），即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ），即可求数列{an}的通项公式
（Ⅲ）利用裂项法求和，即可得到结论．
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-1（n≥1）
∴两边同时减去1，得an+1-1=2（an-1）
又a1-1=2，bn=an-1
∴{bn}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知an-1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）
（Ⅲ）证明：=-
∴Sn=（-）+（-）+…+（-）=-＜
即