Question

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，画出示意图，如图（2）所示，点A，C分别为两名攀岩者所在位置，点B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，点D为山脚，某人在地面上的点E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED=a，求：
（Ⅰ）点B，D间的距离及点C，D间的距离；
（Ⅱ）在点A处攀岩者距地面的距离h．

Answer

（I）分别在Rt△CDE和Rt△BED中利用正切在直角三角形的定义，可得CD=atanγ且BD=atanβ，即得所求距离．
（II）过A作AH⊥ED于H，则Rt△AEH中算出AE=，同理BE=，最后在三角形ABE中利用正弦定理，可算出点A处攀岩者距地面的距离h．
【解析】
（I）根据题意，得∠CED=γ，∠ABE=β，∠ADE=α
在Rt△CDE中，tanγ=，得CD=atanγ
在Rt△BED中，tanβ=，得BD=atanβ
综上所述，得点B，D间的距离为atanγ；点C，D间的距离为atanβ；
（II）过A作AH⊥ED于H，则
Rt△AEH中，AH=h，得sinα=，所以AE=，
同理，可得BE=
在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ）
由正弦定理，得=，即AE==
∴h=AEsinα=