Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n} 满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {b_n} 满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n 是数列 {b_n} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由，能够求出f（x）+f（1-x）=1．
（Ⅱ）由an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），结合f（x）+f（1-x）=1，利用倒序相加法，能够求出．
（Ⅲ）由bn=2n+1•an，bn=（n+1）•2n，知Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，利用错位相减法求出，要使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．由此能够求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵数，
∴f（x）+f（1-x）
=+
=+=1
（Ⅱ）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），①
∴，②
由（Ⅰ），知f（x）+f（1-x）=1
∴①+②，得2an=（n+1），∴．
（Ⅲ）∵bn=2n+1•an，∴bn=（n+1）•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，③
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，④
③-④，得-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1，
即，要使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立，
即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．
∴k对一切的n∈N*恒成立，
令f（n）===，
∵（n+1）+在n∈N*是单调递增的，
∴（n+1）+的最小值为2+=，
∴f（n）min==4，
∴k＞4．