Question

已知函数
（1）若g（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．

Answer

（1）特值法：根据奇函数的性质有g（-1）+g（1）=0，由此可解；
（2）设x1＜x2＜0，通过作差比较g（x1）与g（x2）的大小，依据减函数定义可证．
【解析】
（1）g（x）=a+，g（1）=a+2，g（-1）=a-4，
因为g（x）为奇函数，所以g（1）+g（-1）=0，解得a=1，
经检验，a=1时g（x）为奇函数，所以a=1．
（2）g（x）=f（2x）=a+，
设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=-=．
因为x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
所以1＞，所以g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）．
根据函数单调性的定义知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．