Question

已知椭圆G：的离心率为，且右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆G交于A，B两点，当以线段AB为直径的圆经过坐标原点时，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由椭圆C的离心率e==，右顶点为A（2，0），能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．由方程组，得（4k2+1）x2+16kx+12=0．由方程有两个不等的实数根，解得|k|＞．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以x1x2+y1y2=0，由此能够求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆C的离心率e==，右顶点为A（2，0），
∴a=2，c=，b=1．
所以椭圆的方程为．…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．
由方程组，得（4k2+1）x2+16kx+12=0．①…（6分）
因为方程①有两个不等的实数根，
所以△=（16k）2-4（4k2+1）×12＞0，
解得|k|＞．…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．②
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
所以 ，=0，即有x1x2+y1y2=0．…（9分）
所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，
所以（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．③
将②代入③得，
所以12（k2+1）-2×16k2+4（4k2+1）=0，
解得k=±2．…（13分）
满足|k|＞，
所求直线l的方程为y=±2x+2．…（14分）