Question

已知圆2x²+2y²-8x-8y-1=0的圆心为M，B为该圆上任意一点，当直线BM 与直线l：x+y-9=0 相交于点A时，圆上总存在点C使∠BAC=45°．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A的横坐标的取值范围．

Answer

（1）根据圆与直线的方程可知：M（2，2），A（4，5），kAM=，设直线AC的斜率为k，则有，解得k从而求得直线AC的方程；
（2）将圆的方程化为（x-2）2+（y-2）2=（）2，设A（a，9-a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M上，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即 ≤求解．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y-7=x-2，M到它的距离d=＞，这样点C不在圆M上不成立．
【解析】
（1）依题意M（2，2），A（4，5），kAM=，
设直线AC的斜率为k，则，
解得k=-5或k=，
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；

（2）圆的方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（）2，设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，kAB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=，直线AC的方程为y-（9-a）=（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即≤，
化简得a2-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d==＞，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．