Question

如图，已知点A是椭圆的右顶点，若点在椭圆上，且满足．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当时，求△OMN面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由点在椭圆上，知，由，知，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，知，利用点差法得到直线，由此能求出△OMN面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵点在椭圆上，
∴，
∵，
∴，解得a=3，∴b=1．
∴椭圆的方程为=1．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵，
∴，
设直线，
由，得：4y2-6ny+3n2-1=0
则，
∴，
点O到直线l的距离d=，
∴S=
=
≤=．
当且仅当3n2=4-3n2，n=±．
∵m∈（0，2），∴m=．
∴当m=时，△OMN面积的最大值为．