Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（0，1）
C．（-1，0）
D．（0，1）∪（1，2）

Answer

由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易作出符合题意的函数f（x）的草图，
进而得到不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集．
【解析】
若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，
又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
作出满足题意的函数f（x）的草图，如图所示：

由图知，
不等式（x-1）f（x-1）＜0
⇔或
⇔或，
解得1＜x＜2或0＜x＜1．
所以不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集为（1，2）∪（0，1）．
故选D．