Question

如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．
（1）求证：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A-VB-D的余弦值．

Answer

（1）欲证VD∥平面EAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可，而连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得VD∥EO，VD⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，满足定理条件；
（2）设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角A-VB-D的余弦值．
（1）证明：由正视图可知：平面VAB⊥平面ABCD
连接BD交AC于O点，连接EO，由已知得BO=OD，VE=EB
∴VD∥EO
又VD⊄平面EAC，EO⊂平面EAC
∴VD∥平面EAC；
（2）设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立如图所示的坐标系，
则=（0，1，0）
设平面VBD的法向量为
∵
∴由，可得，∴可取=（，，1）
∴二面角A-VB-D的余弦值cosθ==