Question

已知公比为正数的等比数列{a_n}满足：a₁=3，前三项和S₃=39．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据等比数列的前三项建立关于q的方程，求出q的值，从而求出数列的通项公式，注意公比为正数这一条件；
（2）先求出数列{bn}的通项公式，然后根据通项公式的特征可知利用错位相消法进行求和即可求出所求．
【解析】
（1）∵公比为正数的等比数列{an}中a1=3，S3=39
∴3+3q+3q2=39解得q=3或-4（舍去）
∴an=a1qn-1=3×3n-1=3n，
（2）∵bn=an•log3an，
∴bn=3n•log33n=n•3n，
∴Tn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n；          ①
3Tn=1×32+2×33+…+（n-1）•3n+n•3n+1；②
由①-②得-2Tn=3+32+33+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1=-n•3n+1；
∴Tn=（-）3n+1+
∴数列{bn}的前n项和Tn=（-）3n+1+