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已知△ABC中,2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB. (Ⅰ)...

已知△ABC中,2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若AB=1,向量manfen5.com 满分网=(sinA,cos2A),manfen5.com 满分网=(4,1),当manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网取最大值时,求△ABC的面积.
(Ⅰ)已知等式右边利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,根据sinA不为0,得到cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数; (Ⅱ)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用二次函数的性质,即可求出•的最大值,以及此时sinA的值,得到A的度数,由AB及B的度数,求出AC的长,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积. 【解析】 (Ⅰ)∵2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB, ∴2sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, ∵0<A<π,∴sinA≠0, ∴cosB=, ∵0<B<π,∴B=; (Ⅱ)∵=(sinA,cos2A),=(4,1), ∴•=4sinA+cos2A=4sinA+1-2sin2A=-2(sinA-1)2+3, ∴当sinA=1时,•取得最大值. 此时A=(0<A<π), 又AB=1,B=,∴AC=, 则S△ABC=AB•AC=.
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考点分析:
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A.2
B.3
C.4
D.5
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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