Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求证：△PCD是直角三角形．

Answer

（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；
（2）要证明△PCD是直角三角形，只需证明CD⊥PD，进而转化为证明CD⊥平面PAD．
（1）证明：
连接BD，∵底面ABCD是正方形，E是AC的中点，∴E是BD的中点，
又F是PB的中点，∴EF∥PD．
又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，即CD⊥PA．
∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD．
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PD，∴△PCD是直角三角形．