Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围．

Answer

（1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围．
（2）可设r2=-7m2+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定函数的值域．
【解析】
（1）由方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0
变形得：[x-（m+3）]2+[y+（1-4m2）]2=-7m2+6m+1，
当且仅当-7m2+6m+1＞0，即7m2-6m-1＜0时方程表示圆；
所以＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在＜m＜1时，设r2=-7m2+6m+1，为开口向下的抛物线，
r2=-7m2+6m+1=
∴
∴