Question

已知圆柱OO₁底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO₁逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B₁C₁与曲线Γ相交于点P．
（1）求曲线Γ长度；
（2）当时，求点C₁到平面APB的距离；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；
（2）当θ=时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．
（3）由于二面角D-AB-B1为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B1是否为即可．
【解析】
（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．
由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．
所以曲线Γ的长度为BD=π．
（2）当θ=时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，
故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．
连接AP、BP，OP．
由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．
作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．
在Rt△OB1P中，，
所以．
于是：．
所以，点C1到平面APB的距离为．
（3）由于二面角D-AB-B1为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B1是否为即可．
过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．
由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．
于是∠PQB1即为二面角P-AB-B1的平面角．
在Rt△PB1Q中，．
若，则需B1P=B1Q，即sinθ=θ．
令f（x）=sinx-x（0＜x＜π），则f′（x）=cosx-1＜0，
故f（x）在（0，π）单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x在（0，π）上恒成立．
故不存在θ∈（0，π），使sinθ=θ．
也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D-AB-B1为．