Question

已知函数f（x）=x²-（-1）^k•2lnx（k∈N^*）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当k是偶数时，正项数列{a_n}满足．
①求数列{a_n}的通项公式；
②若，记S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：S_n＜1．
（3）当k是奇数时，是否存在实数b，使得方程在区间（0，2]上恰有两个相异实根？若存在，求出b的范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）求出函数的定义域，求出导函数，讨论当k为奇数时，当k为偶数时两种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
（2）①由已知得，得到，从而是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式写出数列{an}的通项公式；
②由，可得，下面利用拆项法求Sn并化简，从而得出证明．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数b，使方程使在区间（0，2]上恰有两个相异实根．再利用其等价于方程在区间（0，2]上恰有两个相异实根．求出b的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）由已知得x＞0，且
当k为奇数时，则f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k为偶数时，则，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数．故当k为偶数时，f（x）在（0，1）是减函数，在（1，+∞）是增函数；…（5分）
（2）①由已知得，即，而
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故，而{an}是正项数列，从而可得．                           …（7分）
②由，可得
所以=…（10分）
（3）当k为奇数时，f（x）=x2+2lnx，假设存在实数b，使方程使在区间（0，2]上恰有两个相异实根．等价于方程在区间（0，2]上恰有两个相异实根．令，
则，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，当x∈（1，2]时，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2]上是减函数
所以要使方程在区间（0，2]上恰有两个相异实根，等价于
故存在实数b，当时，方程在区间（0，2]上恰有两个相异实根．                                           …（13分）