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如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和...

如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E,G,H.
(1)证明截面EFGH是矩形;
(2)F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由.

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(1)根据面面平行的性质定理,可得AB∥EF,AB∥GH,进而EF∥GH,同理EH∥CD∥FG,则可得四边形EFGH是平行四边形,结合四棱锥的几何特征,证得EF⊥CD后,可得截面EFGH是矩形; (2)设FG=x,x∈(0,1),可得四边形面积的解析式:SEFGH=EF•FG=x(1-x),进而根据二次函数的图象和性质,可得答案. 证明:(1)∵AB∥平面EFGH, 平面ABC∩平面EFGH=EF ∴AB∥EF 同理AB∥GH ∴EF∥GH 同理EH∥CD∥FG ∴四边形EFGH是平行四边形 取CD中点S,连接AS,BS ∵AC=AD,S是CD中点 ∴AS⊥CD 同理 BS⊥CD 又∵AS∩BS=S ∴CD⊥平面ABS ∴CD⊥AB 又∵AB∥EF,FG∥CD ∴EF⊥CD 即 四边形EFGH是矩形 【解析】 (2)设FG=x,x∈(0,1) 由(1)知==, 又CD=AB=1 ∴EF=1-x 则SEFGH=EF•FG=x(1-x) =-(x-)2+ ∴当x=时,SEFGH最大 即F是AC的中点时,截面面积最大
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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