Question

已知常数a≠0，数列{a_n}前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，数列{c_n}满足：，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．

Answer

（Ⅰ）由，知Sn=nan-an（n-1），an+1=Sn+1-Sn，由此能够证明数列{an}是等差数列．
（Ⅱ）由an=1+2a（n-1），对任意的正整数n恒成立，知1+2a（n-1）≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，故a≤对任意的正整数n恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由a=，知an=n，，因为对任意正整数k，都存在正整数p，q，使ck=cpcq，所以，由此能够求出结果．
（Ⅰ）证明：∵，
∴Sn=nan-an（n-1），an+1=Sn+1-Sn，…（2分）
∴an+1=[（n+1）an+1-a（n+1）n]-[nan-an（n-1）]
化简得：an+1-an=2a（常数），…（4分）
∴数列{an}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（5分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知an=1+2a（n-1），
∵对任意的正整数n恒成立，
∴1+2a（n-1）≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，…（6分）
∴a≤对任意的正整数n恒成立，…（7分）
∴a不大于，n∈Z+最小值．
∵==n2-=（n-）2-，n∈Z+
∴当n=3时，取最小值=-20．
∴实数a的取值范围是（-∞，-20]．…（10分）
（Ⅲ）【解析】
∵an=1+2a（n-1），a=，
∴an=n，又∵，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使ck=cpcq，
∴，
∴…（14分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）或q=2k，p=2k+2012，
∴ck=ck（k+2012）•ck+1（或）ck=c2k+2012•c2k．…（16分）