Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．
【解析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，
∵在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=时有极值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②联立解得a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2）
∴函数在x=-2及x=时有极值
∵f（-4）=-11，f（-2）=13，f（）=，f（1）=6
∴函数f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．