Question

（文）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）过圆心M的直线交抛物线C于P、Q两点，问是否为定值，若是定值，求出该定值．

Answer

（Ⅰ）根据=OA•cos60°，可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）因为=OA•cos60°=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x
设⊙M的半径为r，则r=×=2，所以⊙M的方程为（x-2）2+y2=4
（Ⅱ）M（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
（1）当PQ斜率不存在时，P（2，2），Q（2，-2），则=x1x2+y1y2=-4
（2）当PQ斜率存在时，设PQ的方程为y=k（x-2）（k≠0），消y得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0
所以x1+x2=，x1x2=4，
因为y12=4x1，y22=4x2，所以y12y22=16x1x2=64，故y1y2=-8
所以=x1x2+y1y2=-4
所以为定值，该值为-4．