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设α、β为函数g(x)=2x2-mx-2的两个零点,m∈R且α<β,函数• ( ...

设α、β为函数g(x)=2x2-mx-2的两个零点,m∈R且α<β,函数manfen5.com 满分网
( I)求f(a)•g(x)的值;
(Ⅱ) 证明:函数f(x)在[α,β]上为增函数;
(III) 是否存在实数m,使得函数f(x)在[α,β]上的最大值与最小值之差达到最小.若存在,则求出实数m的值;否则,请说明理由.
( I)由题意并根据一元二次方程根与系数的关系可得,运算可得f(α)•f(β)= 的值. (Ⅱ)∀x1,x2∈[α,β],x1<x2 ,依据条件判断f(x1)-f(x2)<0,从而得到函数f(x)在[α,β]上为增函数. (III)函数f(x)在[α,β]上的最大值与最小值之差为 ,当且仅当 f(β)= 时,等号成立,此时,f(β)=2,即2β2-mβ-2=0,可得m=0. 【解析】 ( I)由题意可得,故 f(α)•f(β)==.(4分) (Ⅱ)∀x1,x2∈[α,β],x1<x2 ,可得. ∵(x1-α)(x2-β)≤0,(x1-β)(x2-α)<0,两式相加可得 2x1x2-(α+β)(x1+x2)+2αβ<0. ∵,∴(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)]<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴函数f(x)在[α,β]上为增函数.(4分) (III)函数f(x)在[α,β]上的最大值与最小值之差为 , 当且仅当 f(β)= 时,等号成立,此时,f(β)=2,即 =2,2β2-mβ-2=0. 结合可得m=0. 综上可得,存在实数m=0,满足条件.(5分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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