Question

已知函数f（x）=x²-2x．
（1）用函数的单调性定义在证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[-1，5]上的最大值和最小值．

Answer

（1）根据函数f（x）=x2-2x，利用函数的单调性的定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由于二次函数函数f（x）=x2-2x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，故在[-1，5]上，f（x）max=f（5），f（x）min=f（1），运算求得结果．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2-2x，设x2＞x1≥1，f（x2）-f（x1）=（-2x2）-（-2x1）=（x2+x1）（x2-x1）-2（x2-x1）=（x2-x1）（x2+x1-2），
而由题设可知x2-x1＞0，x2+x1-2＞0，
∴（x2-x1）（x2+x1-2）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由于二次函数函数f（x）=x2-2x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，
∴在[-1，5]上，
当x=5时，f（x）max=f（5）=15；
当x=1时，f（x）min=f（1）=-1．