Question

求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1，x∈R．

Answer

根据题意，分3种情况讨论：（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得Sn，（3）x≠1时，用错位相减法，可得答案．
解，根据题意，分3种情况讨论：
（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得Sn=1+2+3+…+n=，
（2）当x≠1时，
设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，①
则xSn=x+2x2+3x3+…+nxn，②
①-②可得：（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-nxn+
则Sn=．
故当x=0时，Sn=1；
当x=1时，Sn=，
当x≠0且x≠1时，Sn=．