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已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的...

已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
(1)用待定系数法先设函数f(x)的解析式,再由已知条件求解未知量即可 (2)只需保证对称轴落在区间内部即可 (3)转化为函数求最值问题,即可得到个关于变量m的不等式,解不等式即可 【解析】 (1)由已知∵f(x)是二次函数,且f(0)=f(2) ∴对称轴为x=1 又最小值为1 设f(x)=a(x-1)2+1 又f(0)=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3 (2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1 ∴ (3)由已知2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]上恒成立 化简得m<x2-3x+1 设g(x)=x2-3x+1 则g(x)在区间[-1,1]上单调递减 ∴g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1 ∴m<-1
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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