Question

设函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，且对任意x，y都有f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时，f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（2）的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer

（1）令x=2，y=1，由f（x）-f（y）=f（x-y）及f（1）=-2即可求得f（2）；
（2）在f（x）-f（y）=f（x-y）中，令x=x1，y=x2，结合已知条件及函数的单调性可以作出判断；
（3）由奇函数的性质，g（x）≤0可化为f（x-1）-f（2x-3）≤0，也即f（x-1）≤f（2x-3），依据（2）问的单调性及函数定义域可得一不等式组，解出即可．
【解析】
（1）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（2）f（x）在（-3，3）上是减函数．
证明：在（-3，3）上任取x1，x2，且x1＜x2，则x1-x2＜0，
令x=x1，y=x2，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x1）-f（x2）=f（x1-x2），
∵当x＜0时，f（x）＞0，且x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-3，3）上是减函数．
（3）由函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函数f（x） 在（-3，3）上是减函数，
则有，解得0＜x≤2．
∴不等式g（x）≤0的解集为{x|0＜x≤2}．