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已知圆C经过坐标原点,且与直线x-y+2=0相切,切点为A(2,4). (1)求...

已知圆C经过坐标原点,且与直线x-y+2=0相切,切点为A(2,4).
(1)求圆C的方程;
(2)过动点P作圆C和圆D:(x+9)2+(y-1)2=50的切线PM、PN(切点分别为M、N),使得|PM|=|PN|,求动点P的轨迹方程.
(1)依题意可求得直线AC的方程,可求得OA的垂直平分线的方程,二者联立即可求得圆心坐标,从而可得圆C的方程; (2)依题意,点P的轨迹就是CD垂直平分线. 【解析】 (1)设圆C的圆心为C,依题意得直线AC的斜率kAC=-1, ∴直线AC的方程为y-4=-(x-2),即x+y-6=0. ∵直线OA的斜率kOA==2, ∴线段OA的垂直平分线为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 解方程组得圆心C(7,-1). ∴圆C的半径r=|AC|==5, 圆C的方程为(x-7)2+(y+1)2=50. (2)∵圆C与圆D两圆半径相等,|PM|=|PN|,所以|PC|=|PD|, ∴P在线段CD的中垂线上, ∵C(7,-1),D(-9,1),CD的中点坐标为(-1,0),kCD=8, ∴CD的中垂线方程为:8x-y+8=0. ∴P的轨迹方程为:8x-y+8=0.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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