Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=（）^x-m
（1）x∈[-1，3]求f（x）的值域；
（2）若对∀x∈[0，2]，g（x）≥1成立，求实数m的取值范围；
（3）若对∀x₁∈[0，2]，∃x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域．
（2）根据对∀x1∈[0，2]，g（x）≥1成立，等价于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1，而g（x）在[0，2]上单调递减，利用其最小建立关于m的不等关系即可求得实数m的取值范围．
（3）对∀x1∈[0，2]，∃x2∈[-1，3]，使得g（x1）≤f（x2）成立，等价于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论．
【解析】
（1）当x∈[-1，3]时，函数f（x）=x2∈[0，9]，
∴f（x）的值域[0，9]…（4分）
（2）对∀x1∈[0，2]，g（x）≥1成立，
等价于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1．
而g（x）在[0，2]上单调递减，所以
  -m≥1，即m           （8分）
（3）对∀x1∈[0，2]，∃x2∈[-1，3]，使得g（x1）≤f（x2）成立，
等价于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9  （10分）
由1-m≤9，
∴m≥-8．          （14分）