Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1，（a，b是实数），x∈R，．
（1）若f（-1）=0并且函数f（x）的值域为[0，+∞），求函数F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=ax2+bx+1，f（-1）=0，知a-b+1=0，由x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），知b2-4（b-1）=0，由此能求出函数F（x）的表达式．
（2）g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，对称轴方程是，由此能求出当x∈[-2，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数时实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=ax2+bx+1，f（-1）=0，
∴a-b+1=0，
∵x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），
∴，
∴b2-4（b-1）=0，
即（b-2）2=0，∴b=2，a=1，
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，
∴F（x）=．…（6分）
（2）g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，
对称轴方程是，
由图象可得，当或，
即k≤-2或k≥8时，g（x）是单调函数．…（12分）