Question

已知函数f（x）与函数g（x）=互为反函数，
求：
（1）函数f（2x-x²）的函数解析式及定义域．
（2）当x∈[1，2）时，函数f（2x-x²）的值域．

Answer

（1）根据反函数的定义写出f（x）解析式，再求题目所求；
（2）判断f（2x-x2）的单调性，再求最值，即得值域．
【解析】
（1）由题意知，
所以，
要使该函数有意义，需满足2x-x2＞0，解得：x∈（0，2），
所以函数f（2x-x2）的函数解析式为，定义域为（0，2）；
（2）令t=2x-x2，此二次函数在[1，2）上单调递减，而且在[1，2）上也是单调递减的，
所以函数f（2x-x2）在[1，2）上单调递增，
所以函数f（2x-x2）无最大值，最小值为f（1）=0，
故该函数的值域为[0，+∞）．