Question

已知定义在R上的奇函数f（x），定义域上是减函数，且f（x²-a）+f（x-2a）＞0．
（1）当x=1时，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x²-a）+f（x-2a）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用定义在R上的奇函数f（x），定义域上是减函数，将不等式化为具体不等式，即可求实数a的取值范围；
（2）分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵定义在R上的奇函数f（x），且f（x2-a）+f（x-2a）＞0
∴f（x2-a）＞f（2a-x）
∵函数f（x）是定义域上的减函数，
∴x2-a＜2a-x
∵x=1，
∴1-a＜2a-1，即a＞；
（2）由（1）知，3a＞x2+x
∵x2+x=（x+）2-，x∈[-1，2]
∴x=2时，（x2+x）max=6
∵当x∈[-1，2]时，不等式f（x2-a）+f（x-2a）＞0恒成立，
∴a＞2．