Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer

（1）根据奇函数的性质知道f（0）=0，即可得答案．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，再根据f（x）的单调性求出不等式的解集．
（3）由课求出a的值，进而求出函数g（x）的解析式．再根据g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求出m的值
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）＞0，∴，∴a＞1，
又f'（x）=axlna+a-xlna=（ax+a-x）lna＞0
∴f（x）在R上单调递增，
原不等式可化为：f（x2+2x）＞f（4-x），
∴x2+2x＞4-x，即x2+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}
（3）∵，∴，即2a2-3a-2=0，
∴a=2或（舍去）
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2
令t=f（x）=2x-2-x，
∵x≥1，∴，
∴g（x）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，
当时，当t=m时，g（x）min=2-m2=-2，
∴m=2，
当时，当时，，，舍去，
∴m=2．