Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer

（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（）的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．
【解析】
（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（）=f（1）=0，
得f（）=2．
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（），
因＞1，由（2）知f（）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（），
由函数f（x）在R+上的递减性，得：，
由此解得x的范围是（1-，1+）．