Question

已知函数f（x）定义在区间，对任意x，y∈（-1，1），恒有成立，又数列{a_n}满足．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（II）求证：数列{f（a_n）}是等比数列，并求f（a_n）的表达式；
（III）设，是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由，能求出实数t．
（II）由，且，知，由此能够证明数列{f（an）}是等比数列，并能求出f（an）的表达式．
（III）由，知，则＜0，故{cn}是减数列，由此能够推导出存在m∈N*，使得对任意n∈N*，恒成立．
【解析】
（I），
∴…（2分）
（II）∵，
且，
∴，

即
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴．…（6分）
（III）由（II）得，…（8分）
∴，…（9分）
则
=
=＜0，
∴{cn}是减数列，
∴，
要使对任意n∈N*恒成立，
只需，
即，
故，或，
∴0＜m＜，或，
∴当m≥12，且m∈N*时，对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．