Question

已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且满足f（x+3）=-f（3-x），f（x+4）=-f（4-x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，也是周期函数
B．是偶函数，也是周期函数
C．是奇函数，但不是周期函数
D．是偶函数，但不是周期函数

Answer

由f（x+3）=-f（3-x），f（x+4）=-f（4-x），可得f（x+4）=-f[3-（x+1）]=-f（2-x）=-f（4-x），进而得到f（x）=f（2+x），根据函数周期性的定义，可判断函数的周期性；进而由f（x+2+2）=f（x+2），f（2-x+2）=f（2-x），可得f（x+2）=-f（2-x），即f（x）=-f（-x），结合函数的奇偶性，可判断出函数f（x）为奇函数．
【解析】
∵f（x+3）=-f（3-x）
则f（x+4）=-f[3-（x+1）]=-f（2-x）
又∵f（x+4）=-f（4-x）
则-f（2-x）=-f（4-x）
∴f（2-x）=f（4-x）
即f（x）=f（2+x）
故函数f（x）的周期是2
∴f（x+2+2）=f（x+2），f（2-x+2）=f（2-x）
∴f（x+2）=-f（2-x）
即f（x）=-f（-x）
函数f（x）是奇函数．
故选A