Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1．
（I）证明：面PAD⊥面PCD；
（II）求AC与PB所成角的余弦值．

Answer

（I）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我们由三垂线定理，得CD⊥PD，结合线面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（II）过点B作BE∥CA，且BE=CA，连接AE．则∠PBE是AC与PB所成的角，解三角形PBE，即可得到AC与PB所成角的余弦值．
【解析】
（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（II）过点B作BE∥CA，且BE=CA，连接AE．
则∠PBE是AC与PB所成的角，（5分）
可求得AC=CB=BE=EA=．（6分）
又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，∴BE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD．∴PA⊥BE，
∴BE⊥面PAE．
∴BE⊥PE，即∠PEB=90°
在Rt△PAB中，得PB=．（9分）
在Rt△PEB中，．（14分）