Question

设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（-1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．
（Ⅱ）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）
由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即．…（3分）
又因为对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）
显然，当时，不符合题意．…（5分）
当时，应满足，
注意到，解得．…（7分）  所以． …（8分）
（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）
要证不等式成立，
即证．…（10分）
因为，…（12分）
所以=．
所以成立．…（14分）