Question

已知函数f（x）=log₃（9^x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-log₃m存在零点，求m的取值范围．

Answer

（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函数g（x）=f（x）-log3m存在零点，可转化为方程log3-x=0有实根，由此可求m的取值范围．
【解析】
（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），
即log3（9-x+1）-kx=log3（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log3（9-x+1）-log3（9x+1）=-2x恒成立
即（2k+2）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-1；
（2）函数g（x）=f（x）-log3m=log3（9x+1）-x-log3m
令log3（9x+1）-x-log3m=0，则方程log3-x=0有实根
等价于32x-m•3x+1=0有实根
令3x=t，则t2-mt+1=0，且t＞0．
由韦达定理，两根同号．由t＞0可知，两根都大于0
所以可得不等式组，解得：m≥2